Вчився в Харківській початковій та церковно-учительській школі, звідки був виключений за вільнодумство.
Служив у Лохвицькій волості та в канцелярії повітового нотаріуса писарчуком; деякий час навчався на курсах телеграфістів на станції Долинській.
Літературну діяльність розпочав у 1902 р. поезією та етнографічно-побутовими нарисами російською мовою. Тесленко пробував свої сили в драматургії — «Не стоїть жить»(1903).
Справжнє визнання здобув у жанрі реалістичного оповідання. Перші друковані твори з'явилися 1906 р. в газетах «Громадська думка», «Рада», журналі «Нова громада»: оповідання «Хуторяночка», «Запашпортом», «Школяр», «Син», «Радощі», «Любов до ближнього», «У схимника», «Наук^», «Истинно русский человек», п'єса «Патріоти»та ін.
Письменник брав активну участь у революційних подіях 1905-1907 рр., внаслідок чого восени 1906 р. його заарештували. За вироком суда Тесленка було заслано на 2 роки у Вятську губернію.
У кінці 1908 р. Тесленко повернувся додому хворий на туберкульоз.
Повернувшись з тюрми, А. Тесленко пише автобіографічні оповідання: «Поганяй до ями!», «Немає матусі», «Що б з мене було», «Демократи», «Блюстителі порядку», «На селі». У 1911 р. з'являється друком невелика повість «Страчене життя».
За порадою Грінченків Тесленко записує фольклорні обрядові твори, уважно стежить за літературним життям.
У 1911 р. Архип Тесленко помер.
Основні твори: «Страчене життя».